Math
Analyse de fonctions
Trouver l'ordonnée à l'origine et les conditions d'existence
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x-1}$ | L'énoncé |
| $x-1 \neq 0$ | Le dénominateur ne peut pas être égal à $0$ |
| $x -1+1\neq 0+1$ | Résoudre l'équation |
| $x\neq1$ | Conditions d'existence finale. |
Donc l'ordonnée à l'origine est $1$ et la condition pour l'existence de la fonction est que $x$ ne peux pas valoir $0$
Trouver la parité d'une fonction
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x-1}$ | L'énoncé |
| $f(-3)=\frac{(-3)^2+2(-3)+1}{-3-1}$ | Remplacer $x$ par un nombre négatif qui respecte les conditions d'existence |
| $f(-3)=-1$ | Effectuer le calcul |
| $f(3)=\frac{3^2+2*3+1}{3-1}$ | Remplacer $x$ par le même nombre que le précédent mais positif. |
| $f(3)=8$ | Effectuer le calcul |
| La fonction n'est ni paire ni impaire | Si $f(-x)=f(x)$ alors la fonction est paire Si $f(-x)=-f(x)$ alors la fonction est impaire Sinon, la fonction n'est ni paire ni impaire |
La fonction n'est ni paire ni impaire
Trouver les racines
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $f(x)=\frac{x+1}{x}$ | L'énoncé |
| $x+1=0$ | Prendre uniquement le numérateur de la fonction pour faire une équation sous forme: $numerateur=0$ |
| $x+1-1=-1$ | Résoudre l'équation |
| $x=-1$ | La racine de la fonction est $-1$ |
La seule racine de la fonction est en $x=-1$
Faire un tableau de signe
| Calcul | Explication |
|---|---|
| On sait que la racine de la fonction est $x=0$ et la condition d'existence est $x\neq0$ | L'énoncé |
| | -1 | | 0 | | |
Faire le haut du tableau avec les racines et les conditions d'existences |
| - | 0 | - | E | + | |
Ajouter les valeurs qui correspondent. Ainsi que les signes avant et après |
| -1 | 0 | |||
|---|---|---|---|---|
| - | 0 | - | $\nexists$ | + |
Calculer les asymptotes & limites
Pour calculer les asymptotes il est très important de les faires dans l'ordre. D'abord essayer de trouve une asymptote verticale, puis essayer de trouver une asymptote horizontale. Si il y a une asymptote horizontale ça veux dire qu'il n'y a pas d'asymptote oblique donc pas besoin de faire le calcul.
Attention au limites particulières : $\lim_{x\to0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ & $\lim_{x\to0} \frac{\tan{x}}{x} = 1$ & $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos{x}}{x} = 0$
Asymptote verticale
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-1}$ | L'énoncé |
| $x\neq1$ | Calculer les conditions d'existence |
| $\lim_{x\to1^-} \frac{1^2-3*1+4}{1-1}$ | Mettre la limite vers la valeur trouvé en conditions et remplacer dans la fonction |
| $\lim_{x\to1} \frac{2}{0^-}$ | Simplifier la fonction |
| $-\infty$ | Transformer le $0^-$ en $-\infty$ |
Asympotes horizontales
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $f(x)= \frac{2x+3}{x^2+4}$ | L'énoncé |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{2\infty+3}{\infty^2+4}$ | Remplacer (mentalement) $x$ par $\infty$ |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{2x}{x^2}$ | C'est le cas de $\frac{\infty}{\infty}$. Donc il faut prendre la plus grande puissance ainsi que son coefficient (nombre qui est multiplié) |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x}$ | Simplifier la fraction |
| $AH=0$ | La forme $\frac{1}{x}$ est égale à $0$. La résponse est donc $0$ |
Asymptotes oblique
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $f(x)=\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2+1}$ | L'énoncé |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{x^3-x^2+5x-1}{x(x^2+1)}$ | Appliquer la formule $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ pour trouver $m$ (la pente) |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x^3}$ | C'est le cas $\frac{\infty}{\infty}$. Donc il faut mettre en évidence en gardant uniquement le plus grand exposant (voire plus haut) |
| $m=1$ | Simplifier pour obtenir la pente |
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2-1}-x$ | Appliquer la forumle $\lim_{x\to\infty}f(x)-mx$ pour trouver $p$ (l'ordonnée à l'origine |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2-1}-\frac{x(x^2-1)}{1(x^2-1)}$ | Mettre au même dénominateur en multipliant le dénominateur du premier terme avec tout le deuxième. |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{(x^3-x^2+5x-1)-(x(x^2-1))}{x^2-1}$ | Mettre sous la même barre de fraction |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x^2+5x-1-x^3-x}{x^2-1}$ | Développer |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2+4x-1}{x^2-1}$ | Simplifier |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2}{x^2}$ | Mettre en évidence en gardant seulement la plus grande puissance de $x$, voire plus haut |
| $p=-1$ | Simplifier la fraction |
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $AO \equiv y=1x+(-1)$ | Appliquer la formule $AO \equiv y=mx+p$ à partir des informations vue çi dessus |
| $AO \equiv y=x-1$ | Simplifier, résultat final |
Dérivés
Première dérivée (Savoir si ça monte, dessend ou reste stable)
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $f'(x)=(\frac{x^2+2x+1}{x})'$ | L'énoncé |
| $f'(x)=\frac{(x^2+2x+1)'(x)-(x^2+2x+1)(x)'}{x^2}$ | Appliquer la formule $(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ |
| $f'(x)=\frac{(2x+2+0)(x)-(x^2+2x+1)(1)}{x^2}$ | Appliquer la formule $x^n=nx^{n-1}$ ou autres formules (voir plus bas). Faire les dérivés |
| $f'(x)=\frac{2x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2}$ | Développer et distribuer |
| $f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}$ | Simplifier |
| Faire un tableau de signe | Voir plus haut. |
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | + | 0 | - | $\nexists$ | - | 0 | + |
| $f(x)$ | Monte | Maximum | Dessends | $\nexists$ | Dessends | Minimum | Monte |
Deuxième dérivée (Savoir si c'est concave ou convexe)
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $f''(x) = (\frac{x^2-1}{x^2})'$ | La dérivée précédente (dérivée première) |
| $f''(x) = \frac{(x^2-1)'(x^2)-(x^2-1)(x^2)'}{x^4}$ | Appliquer la formule $(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ |
| $f''(x) = \frac{(2x-0)(x^2)-(x^2-1)(2x)}{x^4}$ | Appliquer la formule $x^n=nx^{n-1}$ ou autres formules (voir plus bas). Faire les dérivés |
| $f''(x) = \frac{2x^3-(2x^3-2x)}{x^4}$ | Distribuer |
| $f''(x) = \frac{2}{x^3}$ | Simplifier |
| Faire un tableau de signe | Voir plus haut. |
| $x$ | $0$ | ||
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | - | $\nexists$ | + |
| $f(x)$ | Concave | $\nexists$ | Convexe |
Définition d'une dérviée
TODO
Faire une tangente
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ | Faire la tangeante de cette fonction au point $1$ |
| $f'(x) = 3x^2 - 4x + 0$ | Dériver la fonction |
| $m=f'(1) = 3 * 1^2 - 4*1 = -1$ | Trouver la pente avec la formule $m=f'(A)$ |
| $p=-(-1) * 1+f(1) = 1 * 1+0 = 1$ | Trouver l'ordonnée à l'origine avec la formule $p=-mA + f(A)$ |
| $T_a \equiv y - 1 = -1(x-1)$ | Equation de la tangente au point A : $T_a \equiv y - f(a) = f'(a) * (x-a)$ |
Faire une intégrale d'une fonction (primitives)
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $f(x)=2x+1$ | Fonction à primitiver |
| $\int (2x+1) dx$ | Mettre la fonction dans une intégrale. |
| $\frac{2x^{1+1}}{1+1} + \frac{1^{0+1}}{0+1}$ | Appliquer la formule $\int x^n = \frac{n^{n+1}}{n+1}$ |
| $x^2 + x$ | Calculer et simplifier |
Voir la feuille avec les cas plus spéciaux et les ploynomes.
Trouver l'aire sous une courbe
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $f(x) = x^2-1$ | Trouver l'aire sous cette courbe entre $-1$ et $1$ |
| $\int x^2-1 dx$ | Mettre le tout sous une intégrale |
| $\frac{x^3}{3}-x$ | Faire l'intégrale |
| $\int_1^1 x^2-1dx$ | Mettre sous forme d'intégrale bornée |
| $\int f(1)dx - \int f(-1)dx$ | Appliquer la formule $\int_a^b f(xà dx = \int f(b)dx - \int f(a)dx$ |
| $(\frac{1^3}{3}-1)-(\frac{(-1)^3}{3}-(-1))$ | Détail de l'étape précédente |
| $\frac{4}{3}$ | Réponse finale. L'aire sous la courbe est de $ |
Volume d'un solide
Insérer schéma ici
| Calcul | Explications |
|---|---|
| $f(x) = 1$ | Cylindre du de coté avec une hauteur de 2 ($\frac{2}{2} = 1$) |
| $V_1 = \pi \int_0^6 (1)^2 dx$ | Application de la formule du calcul de volume intégral $V = \pi \int_a^b f(x)^2 dx$ |
| $V_1 = \pi ( 6 - 0) = 6 \pi$ | Calcul de l'intégrale, voir plus haut pour plus de détails |
| $V_2 = \pi r^2 * h$ | Vérification à l'aide de la formule du volume du cylindre |
| $V_2 = \pi 1^2 * 6 = 6 \pi$ | Calcul de la formule précédente |
| $V_1 = V_2 = 6 \pi$ | Les deux volumes sont les même, donc les formules sont correctes |
Géométrie vectorielle
Définition
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction (haut, bas), un sens (gauche, droite) et une longueur (aussi appellé norme).
Comparer des vecteurs
Des vecteurs égaux sont des vecteurs qui ont la même direction, le même sens et la même longueur.
$$ \vec{u_1} = \vec{u_2} $$
Des vecteurs sont dit opposés quand ils ont la même direction, la même longueur mais un sens contraire.
$$ \vec{u_1} = -\vec{u_2} $$
Représenter un vecteur
Si on a dans un graphique un vecteur avec deux points, $A(-2;3)$ et $B(4;-1)$
Le vecteur $\vec{AB}$ sera:
$$ \vec{AB} = (x_b - x_a ; y_b - y_a) $$
$$ \vec{AB} = (4-(-2) ; -1-3) $$
$$ \vec{AB} = (6;-4) $$
Faire des opérations avec les vecteurs
Additiionner et soustraires deux vecteurs
Nous avons ici deux vecteurs :
$$ \vec{AB} = (6;-4) $$
$$ \vec{CD} = (5;2) $$
Donc pour faire $\vec{AB} + \vec{CD}$ on va additionner les composantes:
$$ \vec{AB} + \vec{CD} = (6+5;-4+2) $$
$$ \vec{AB} + \vec{CD} = (11;-2) $$
Multiplier et diviser un vecteur par un réel
Pour faire $5 * \vec{AB}(6;5)$ il suffit de multiplier les composantes par le nombre.
$$ 5\vec{AB} = (6 * 5 ; 5 * 5) $$
$$ 5\vec{AB} = (30;25) $$
Trouver le milieu d'un segment (ou d'un vecteur)
Voici la formule pour trouver le milieu d'un segment.
$$ M(\frac{x_A+b_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}) $$
Savoir si deux vecteurs sont // (colinéaires)
Deux vecteurs ($u$ et $v$) sont colinéaires dans le cas où l'expression suivante est vraie:
$$ x_v * y_u - x_u * y_v = 0 $$
Savoir si deux vecteurs sont perpendiculaires (orthogonalité)
DDeux vecyeurs ($u$ et $v$) sont orthogonaux dans le cas où l'expression suivante est vraie:
$$ x_u * x_v + y_u * y_v = 0 $$
Connaître la longueur d'un vecteur
La longueur d'un vecteur se note $||u||$ et pour la connaître on fait:
$$ ||\vec{u}|| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2} $$
Oui bien
$$ ||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} $$
Les suites
Une suite est une liste ordonnée, finie ou infinie de nombres réels. Les différents nombres de cette liste sont appellé les termes de la suite.
Suite algébrique
Dans une suite géométrique les nombres sont à chaquefois, le nombre précédent ajouté ou soustrait d'un autre nombre appellé raison.
La formule simplifie de la suite algébrique est donc:
$$ u_n = u_{n-1} + r $$
Dans cette équation plusieurs lettres sont utilisées:
| Lettre utilisée | Signification |
|---|---|
| $u$ | Terme de la suite |
| $n$ | Indice de la suite |
| $u_n$ | Terme de la suite de rang $n$ |
| $u_{n-1}$ | Terme de la suite qui précède $n$ |
| $r$ | Le coefficient, appellé raison, dans une suite algébrique |
| $q$ | Le coefficient, appellé raison, dans une suite géométrique |
| $u_1$ | Le premier terme de la suite |
Mais il existe aussi une autre formule appellée formule explicite, la méthode précédente étant appellé formule réccurente.
$$ u_n = u_1 + r(n-1) $$
A partir de maintenant on sait donc trouver un nombre de la suite en partant soit de la raison $r$ et du nombre précédent $u_{n-1}$. Soit en utilisant le premier nombre de la suite $u_1$ et la raison $r$.
Trouver un bombre à l'aide des deux autres qui l'encadrent
Pour faire cela on utilise la formule
$$ u_n = \frac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2} $$
Calculer la somme de $n$ termes de la suite
$$ S = \frac{n(u_1+u_n}{2} $$
Suite géométrique
Dans une suite géométrique les nombres sont à chaquefois, le nombre précédent est multiplié ou divisé d'un autre nombre appellé raison.
Sa formule par réccurence est
$$ u_n = u_{n-1} * q $$
Et sa formule explicite est
$$ u_n = u_1 * q^{n-1} $$
Trouver un bombre à l'aide des deux autres qui l'encadrent
$$ u_n = \sqrt{u_{n-1} * u_{n+1}} $$
Calculer la somme de $n$ termes de la suite
$$ S = u_1 * \frac{1-q^n}{1-q} $$
Trigonométrie
Formules
La formule du cercle trigonométrique
$$ \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 $$
La formule de la tangeante
$$ \tan{\alpha} = \frac{sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} $$
La formule des sinus
$$ \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}} $$
La formule des cosinus
$$ a^2 = b^2 +c^2 - 2bc\cos{\alpha} $$
$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{\beta} $$
$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\gamma} $$
Somme des angles d'un triangle
$$ \alpha = 180° - \beta - \gamma $$
L'aire d'un triangle
$$ aire = \frac{bc\sin{\alpha}}{2} = \frac{ac\sin{\beta}}{2} = \frac{ab\sin{\gamma}}{2} $$
Convertir en angle / minutes / secondes
$$ 1° = 60' = 3600'' $$
$$ 1' = 1/60° = 60'' $$
$$ 1'' = 1/3600° = 1/60' $$
Convertir des angles en radian
$$ 180° = \pi $$
$$ 1° = \frac{\pi}{180} = 0.0175 $$
$$ \frac{180°}{\pi} = 57.3° = 1 $$
Savoir quand utiliser les formules
| Si on connaît | On utilise |
|---|---|
| Deux angles et un côté | La somme des angles et la formule des sinus |
| Deux côtés et l'angle entre les deux | La formule des cosinus |
| Trois côtés | La formule des cosinus |
Comment les utiliser
Cette section n'est pas encore faite
Les fonctions trigonométriques
Voici une table pour comprendre les lettres dans les formules
| Lettre | Signification |
|---|---|
| $A$ | L'amplitude (grandeur mesurée) |
| $\omega$ | Vitesse angulaire, pulsation par seconde, exprimée en radian |
| $\phi$ | La phase d'origine |
| $T$ | Durée d'un cycle. Equivaut à $\frac{2\pi}{\omega}$ |
| $f$ | Fréquence, exprimée en Hertz, au nombre de périodes par seconde, elle vaut $\frac{1}{T}$ |
Le tout est lié par la relation
$$ \omega = 2 \pi f = \frac{2\pi}{T} $$
Probabilité
Propriétés
$$ 0 < P(A) < 1 $$
$$ P(A) = \đrac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possible} $$
$$ P(1) + P(2) = 1 $$
$$ P(A) = 1 - P(A) $$
Analyse combinatoire
| Math | Formule | Consigne |
|---|---|---|
| $P_10 = 10!$ | $P_n = n!$ | Combien de manières de ranger 10 livres dans un étagère (permutation, objets différents) |
| $P_{10}^{2} = \frac{10!}{2!}$ | $P_{n}^{j;k;l} = \frac{n!}{j! * k! * l!}$ | Parmis 10 livres, j'ai 2 livres identiques (permutation avec objets identiques) |
| $C_{20}^5 = \frac{20!}{5! * (20-5)!}$ | $C_n^p = \frac{n!}{p! * (n-p)!}$ | Former une équipe de 5 personnes parmis 20 persones (combinaison) |
| $A_{20}^3 = \frac{20!}{(20-3)!}$ | $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ | Choisir parmis 20 personnes, un président, un secretaire et un trésorier (arrangement sans répétition) |
| $B_{10}^5 = 10^5$ | $B_n^p = n^p$ | Former un code à 5 chiffres (arrangement avec répétition) |
La loi binomiale
C'est quand il n'y a que deux possibilités: échec ou réussite.
$$ P(X=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k} $$
| Mathématiques | Français |
|---|---|
| $P(X=k)$ | Probabilité de réussite |
| $k$ | Nombre de succès |
| $n$ | Nombre de répétitions |
| $p$ | Probabilité (0,xxx) |
$$ \bar{x} $$
Loi normale centrée réduite
Loi normale de moyenne 1.84 ($µ$) et d'écart-type de 0.4 ($\sigma$). Déterminer la probabilité qu'un individu soit entre 1.04 et 2.64
| Calcul | Explication |
|---|---|
| $P(1.04 \le X \le 2.64)$ | Enoncé |
| $P(\frac{1.04 - 1.84}{0.4} \le Z \le \frac{2.64 - 1.84}{0.4})$ | Appliquer la formule $Z = \frac{X-µ}{\sigma}$ pour chaque nombre |
| $P(-2 \le Z \le 2)$ | Calculer la formule précédente |
| $P(Z \le 2) - (1 - P(Z \le -2))$ | Diviser en 2 grâce à la formule $P(A \le Z \le B) = P(Z \le B) - (1 - P(Z \le A))$ |
| $0.9772 - (1 - 0.9772)$ | Aller voir dans le tableau pour trouver la probabilité correspondante |
| $0.9544 = 95.44%$ | Calculer et trouver la probabilité finale$ |
Il y a donc 95.44% de chance que la personne soit entre les valeurs 1.04 et 2.64. Avec l'écart-type de 0.4 et la moyenne de 1.84.
Statistiques
Statistiques à deux variables
On appelle série statistique à deux variables est une série statistiques dans laquelles on étudie simultanément deux caractères x et y observés sur une même population.
L'ajustement affine
IMAGE ICI
| Méthode | Exemple | Formule |
|---|---|---|
| Classer les données par ordre croissant | ||
| Classer les données en deux groupes égaux | 1er groupe les 4 premières données, le 2em groupe : les quatres dernières données | |
| Calculer le point $G_1$ | $(\bar{x_1};\bar{y_1}) = (\frac{1+2+3+4}{4} ; \frac{1+3+5+4}{4}) = (2.5 ; 3.25)$ | $(\bar{x};\bar{y}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} ; \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n})$ |
| Calculer le point $G_2$ | $(\bar{x_2};\bar{y_2}) = (\frac{5+6+7+8}{4} ; \frac{6+1+2+3}{4}) = (6.5 ; 3)$ | $(\bar{x};\bar{y}) = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} ; \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n})$ |
| Calculer la pente de la droite | $m = \frac{3-3.25}{6.5-2.5} = -0.0625$ | $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ |
| Calculer l'ordonnée à l'origine | $p = 1 - (-0.0625) * 1 = 1.0625$ | $p = y_1 - m * x_1$ |
| Droite finale | $y = -0.0625x + 1.0625$ | $y = m * x + p$ |
Méthode des moindres carrés
IMAGE ICI
Méthode courte
La méthode la plus courte pour calculer la droite des moindres carrés, c'est d'utiliser directement la calculatrice (CASIO fx-92B)
$$ Y = ax + b $$
$r$ correspond au coefficient de régression
Méthode longue
VOIR DANS LE LIVRE A LA PAGE 106.
Calculer et interpreter le coefficient de corrélation
Le coefficient de corrélation correspond au $r$ que la calculatrice donne. Il suffit ensuite d'utiliser le barème suivant pour l'interprêter, sans même avoir besoin du graphique.
| Qualité de la corrélation | Positive | Négative |
|---|---|---|
| Parfaite | $0.98<r<1$ | $-1<r<-0.98$ |
| Forte | $0.80<r<0.98$ | $-0.98<r<-0.80$ |
| Moyenne | $0.60<r<0.80$ | $-0.80<r<-0.60$ |
| Faible | $0.35<r<0.60$ | $-0.60<r<-0.35$ |
| Nulle | $-0.35<r<0.35$ | $-0.35<r<0.35$ |
Ce coefficient défini à quel point le lien entre la droite de régression et les points sont proches. Si il n'y a aucun lien entre la droite et les points, c'est une corrélation nulle.
Différence entre corrélation et causalité
Une corrélation est un rapport entre deux valeurs ($x$ et $y$)
Une causalité c'est quand $x$ cause $y$ (ou l'inverse).
Il est très important de comprendre que ces deux mots ne sont pas synonymes, c'est un piège dans lequel de nombreux journalistes tombent. Voici un exemple de corrélation :
Les pays qui ont le plus de prix nobels sont les pays avec la plus grande consommation de chocolat
Cette affirmation est factuelle, c'est en effet le cas, mais ce n'est pas pour autant que manger du chocolat va faire de vous un génie comme beaucoup de journeaux l'ont dit.