# Math

# Analyse de fonctions

## Trouver l'ordonnée à l'origine et les conditions d'existence

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f(x)=\\frac{x^2+2x+1}{x-1}$</td><td>L'énoncé</td></tr><tr><td>$x-1 \\neq 0$</td><td>Le dénominateur ne peut pas être égal à $0$</td></tr><tr><td>$x -1+1\\neq 0+1$</td><td>Résoudre l'équation</td></tr><tr><td>$x\\neq1$</td><td>Conditions d'existence finale.</td></tr></tbody></table>

*Donc l'ordonnée à l'origine est $1$ et la condition pour l'existence de la fonction est que $x$ ne peux pas valoir $0$*

## Trouver la parité d'une fonction

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-0"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f(x)=\\frac{x^2+2x+1}{x-1}$</td><td>L'énoncé</td></tr><tr><td>$f(-3)=\\frac{(-3)^2+2(-3)+1}{-3-1}$</td><td>Remplacer $x$ par un nombre négatif qui respecte les conditions d'existence</td></tr><tr><td>$f(-3)=-1$</td><td>Effectuer le calcul</td></tr><tr><td>$f(3)=\\frac{3^2+2\*3+1}{3-1}$</td><td>Remplacer $x$ par le même nombre que le précédent mais positif.</td></tr><tr><td>$f(3)=8$</td><td>Effectuer le calcul</td></tr><tr><td>La fonction n'est ni paire ni impaire</td><td>Si $f(-x)=f(x)$ alors la fonction est paire  
Si $f(-x)=-f(x)$ alors la fonction est impaire  
Sinon, la fonction n'est ni paire ni impaire</td></tr></tbody></table>

*La fonction n'est ni paire ni impaire*

## Trouver les racines

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-1"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f(x)=\\frac{x+1}{x}$</td><td>L'énoncé</td></tr><tr><td>$x+1=0$</td><td>Prendre uniquement le numérateur de la fonction pour faire une équation sous forme: $numerateur=0$</td></tr><tr><td>$x+1-1=-1$</td><td>Résoudre l'équation</td></tr><tr><td>$x=-1$</td><td>La racine de la fonction est $-1$</td></tr></tbody></table>

*La seule racine de la fonction est en $x=-1$*

## Faire un tableau de signe

<table id="bkmrk-calcul-explication-o"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>*On sait que la racine de la fonction est $x=0$ et la condition d'existence est $x\\neq0$*</td><td>L'énoncé</td></tr><tr><td>`|   | -1 |   | 0 |   |`</td><td>Faire le haut du tableau avec les racines et les conditions d'existences</td></tr><tr><td>`| - | 0  | - | E | + |`</td><td>Ajouter les valeurs qui correspondent. Ainsi que les signes avant et après</td></tr></tbody></table>

<table id="bkmrk--1-0---0---%24%5Cnexists"><thead><tr><th align="center"></th><th align="center">-1</th><th align="center"></th><th align="center">0</th><th align="center"></th></tr></thead><tbody><tr><td align="center">-</td><td align="center">0</td><td align="center">-</td><td align="center">$\\nexists$</td><td align="center">+</td></tr></tbody></table>

## Calculer les asymptotes &amp; limites

Pour calculer les asymptotes il est très important de les faires dans l'ordre. D'abord essayer de trouve une asymptote verticale, puis essayer de trouver une asymptote horizontale. Si il y a une asymptote horizontale ça veux dire qu'il n'y a pas d'asymptote oblique donc pas besoin de faire le calcul.

> Attention au limites particulières : $\\lim\_{x\\to0} \\frac{\\sin{x}}{x} = 1$ &amp; $\\lim\_{x\\to0} \\frac{\\tan{x}}{x} = 1$ &amp; $\\lim\_{x\\to0} \\frac{1 - \\cos{x}}{x} = 0$

### Asymptote verticale

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-2"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f(x)=\\frac{x^2-3x+4}{x-1}$</td><td>L'énoncé</td></tr><tr><td>$x\\neq1$</td><td>Calculer les conditions d'existence</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to1^-} \\frac{1^2-3\*1+4}{1-1}$</td><td>Mettre la limite vers la valeur trouvé en conditions et remplacer dans la fonction</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to1} \\frac{2}{0^-}$</td><td>Simplifier la fonction</td></tr><tr><td>$-\\infty$</td><td>Transformer le $0^-$ en $-\\infty$</td></tr></tbody></table>

### Asympotes horizontales

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-3"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f(x)= \\frac{2x+3}{x^2+4}$</td><td>L'énoncé</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to\\infty} \\frac{2\\infty+3}{\\infty^2+4}$</td><td>Remplacer (mentalement) $x$ par $\\infty$</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to\\infty} \\frac{2x}{x^2}$</td><td>C'est le cas de $\\frac{\\infty}{\\infty}$. Donc il faut prendre la plus grande puissance ainsi que son *coefficient* (nombre qui est multiplié)</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to\\infty} \\frac{2}{x}$</td><td>Simplifier la fraction</td></tr><tr><td>$AH=0$</td><td>La forme $\\frac{1}{x}$ est égale à $0$. La résponse est donc $0$</td></tr></tbody></table>

### Asymptotes oblique

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-4"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f(x)=\\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2+1}$</td><td>L'énoncé</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to\\infty} \\frac{x^3-x^2+5x-1}{x(x^2+1)}$</td><td>Appliquer la formule $\\lim\_{x\\to\\infty}\\frac{f(x)}{x}$ pour trouver $m$ (la pente)</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to\\infty}\\frac{x^3}{x^3}$</td><td>C'est le cas $\\frac{\\infty}{\\infty}$. Donc il faut mettre en évidence en gardant uniquement le plus grand exposant (voire plus haut)</td></tr><tr><td>$m=1$</td><td>Simplifier pour obtenir la pente</td></tr></tbody></table>

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-5"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$\\lim\_{x\\to\\infty}\\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2-1}-x$</td><td>Appliquer la forumle $\\lim\_{x\\to\\infty}f(x)-mx$ pour trouver $p$ (l'ordonnée à l'origine</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to\\infty}\\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2-1}-\\frac{x(x^2-1)}{1(x^2-1)}$</td><td>Mettre au même dénominateur en multipliant le dénominateur du premier terme avec tout le deuxième.</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to\\infty}\\frac{(x^3-x^2+5x-1)-(x(x^2-1))}{x^2-1}$</td><td>Mettre sous la même barre de fraction</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to\\infty}\\frac{x^3-x^2+5x-1-x^3-x}{x^2-1}$</td><td>Développer</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to\\infty}\\frac{-x^2+4x-1}{x^2-1}$</td><td>Simplifier</td></tr><tr><td>$\\lim\_{x\\to\\infty}\\frac{-x^2}{x^2}$</td><td>Mettre en évidence en gardant seulement la plus grande puissance de $x$, voire plus haut</td></tr><tr><td>$p=-1$</td><td>Simplifier la fraction</td></tr></tbody></table>

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-6"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$AO \\equiv y=1x+(-1)$</td><td>Appliquer la formule $AO \\equiv y=mx+p$ à partir des informations vue çi dessus</td></tr><tr><td>$AO \\equiv y=x-1$</td><td>Simplifier, résultat final</td></tr></tbody></table>

## Dérivés

### Première dérivée (Savoir si ça monte, dessend ou reste stable)

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-7"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f'(x)=(\\frac{x^2+2x+1}{x})'$</td><td>L'énoncé</td></tr><tr><td>$f'(x)=\\frac{(x^2+2x+1)'(x)-(x^2+2x+1)(x)'}{x^2}$</td><td>Appliquer la formule $(\\frac{f}{g})'=\\frac{f'g-fg'}{g^2}$</td></tr><tr><td>$f'(x)=\\frac{(2x+2+0)(x)-(x^2+2x+1)(1)}{x^2}$</td><td>Appliquer la formule $x^n=nx^{n-1}$ ou autres formules (voir plus bas). Faire les dérivés</td></tr><tr><td>$f'(x)=\\frac{2x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2}$</td><td>Développer et distribuer</td></tr><tr><td>$f'(x)=\\frac{x^2-1}{x^2}$</td><td>Simplifier</td></tr><tr><td>Faire un tableau de signe</td><td>Voir plus haut.</td></tr></tbody></table>

<table id="bkmrk-%24x%24-%24-1%24-%240%24-%241%24-%24f%27"><thead><tr><th>$x$</th><th></th><th>$-1$</th><th></th><th>$0$</th><th></th><th>$1$</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>$f'(x)$</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>$\\nexists$</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td></tr><tr><td>$f(x)$</td><td>Monte</td><td>Maximum</td><td>Dessends</td><td>$\\nexists$</td><td>Dessends</td><td>Minimum</td><td>Monte</td></tr></tbody></table>

### Deuxième dérivée (Savoir si c'est concave ou convexe)

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-8"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f''(x) = (\\frac{x^2-1}{x^2})'$</td><td>La dérivée précédente (dérivée première)</td></tr><tr><td>$f''(x) = \\frac{(x^2-1)'(x^2)-(x^2-1)(x^2)'}{x^4}$</td><td>Appliquer la formule $(\\frac{f}{g})'=\\frac{f'g-fg'}{g^2}$</td></tr><tr><td>$f''(x) = \\frac{(2x-0)(x^2)-(x^2-1)(2x)}{x^4}$</td><td>Appliquer la formule $x^n=nx^{n-1}$ ou autres formules (voir plus bas). Faire les dérivés</td></tr><tr><td>$f''(x) = \\frac{2x^3-(2x^3-2x)}{x^4}$</td><td>Distribuer</td></tr><tr><td>$f''(x) = \\frac{2}{x^3}$</td><td>Simplifier</td></tr><tr><td>Faire un tableau de signe</td><td>Voir plus haut.</td></tr></tbody></table>

<table id="bkmrk-%24x%24-%240%24-%24f%27%28x%29%24---%24%5C"><thead><tr><th>$x$</th><th></th><th>$0$</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>$f'(x)$</td><td>-</td><td>$\\nexists$</td><td>+</td></tr><tr><td>$f(x)$</td><td>Concave</td><td>$\\nexists$</td><td>Convexe</td></tr></tbody></table>

### Définition d'une dérviée

TODO

### Faire une tangente

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-9"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$</td><td>Faire la tangeante de cette fonction au point $1$</td></tr><tr><td>$f'(x) = 3x^2 - 4x + 0$</td><td>Dériver la fonction</td></tr><tr><td>$m=f'(1) = 3 \* 1^2 - 4\*1 = -1$</td><td>Trouver la pente avec la formule $m=f'(A)$</td></tr><tr><td>$p=-(-1) \* 1+f(1) = 1 \* 1+0 = 1$</td><td>Trouver l'ordonnée à l'origine avec la formule $p=-mA + f(A)$</td></tr><tr><td>$T\_a \\equiv y - 1 = -1(x-1)$</td><td>Equation de la tangente au point A : $T\_a \\equiv y - f(a) = f'(a) \* (x-a)$</td></tr></tbody></table>

### Faire une intégrale d'une fonction (primitives)

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-10"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f(x)=2x+1$</td><td>Fonction à primitiver</td></tr><tr><td>$\\int (2x+1) dx$</td><td>Mettre la fonction dans une intégrale.</td></tr><tr><td>$\\frac{2x^{1+1}}{1+1} + \\frac{1^{0+1}}{0+1}$</td><td>Appliquer la formule $\\int x^n = \\frac{n^{n+1}}{n+1}$</td></tr><tr><td>$x^2 + x$</td><td>Calculer et simplifier</td></tr></tbody></table>

> Voir la feuille avec les cas plus spéciaux et les ploynomes.

### Trouver l'aire sous une courbe

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24-11"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f(x) = x^2-1$</td><td>Trouver l'aire sous cette courbe entre $-1$ et $1$</td></tr><tr><td>$\\int x^2-1 dx$</td><td>Mettre le tout sous une intégrale</td></tr><tr><td>$\\frac{x^3}{3}-x$</td><td>Faire l'intégrale</td></tr><tr><td>$\\int\_1^1 x^2-1dx$</td><td>Mettre sous forme d'intégrale bornée</td></tr><tr><td>$\\int f(1)dx - \\int f(-1)dx$</td><td>Appliquer la formule $\\int\_a^b f(xà dx = \\int f(b)dx - \\int f(a)dx$</td></tr><tr><td>$(\\frac{1^3}{3}-1)-(\\frac{(-1)^3}{3}-(-1))$</td><td>Détail de l'étape précédente</td></tr><tr><td>$\\frac{4}{3}$</td><td>Réponse finale. L'aire sous la courbe est de $</td></tr></tbody></table>

### Volume d'un solide

> Insérer schéma ici

<table id="bkmrk-calcul-explications-"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explications</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f(x) = 1$</td><td>Cylindre du de coté avec une hauteur de 2 ($\\frac{2}{2} = 1$)</td></tr><tr><td>$V\_1 = \\pi \\int\_0^6 (1)^2 dx$</td><td>Application de la formule du calcul de volume intégral $V = \\pi \\int\_a^b f(x)^2 dx$</td></tr><tr><td>$V\_1 = \\pi ( 6 - 0) = 6 \\pi$</td><td>Calcul de l'intégrale, voir plus haut pour plus de détails</td></tr><tr><td>$V\_2 = \\pi r^2 \* h$</td><td>Vérification à l'aide de la formule du volume du cylindre</td></tr><tr><td>$V\_2 = \\pi 1^2 \* 6 = 6 \\pi$</td><td>Calcul de la formule précédente</td></tr><tr><td>$V\_1 = V\_2 = 6 \\pi$</td><td>Les deux volumes sont les même, donc les formules sont correctes</td></tr></tbody></table>

# Géométrie vectorielle

## Définition

> Un **vecteur** est un objet mathématique caractérisé par une **direction** (haut, bas), un **sens** (gauche, droite) et une **longueur** (aussi appellé **norme**).

## Comparer des vecteurs

Des vecteurs égaux sont des vecteurs qui ont la même direction, le même sens et la même longueur.

$$ \\vec{u\_1} = \\vec{u\_2} $$

Des vecteurs sont dit *opposés* quand ils ont la même direction, la même longueur mais un sens contraire.

$$ \\vec{u\_1} = -\\vec{u\_2} $$

## Représenter un vecteur

Si on a dans un graphique un vecteur avec deux points, $A(-2;3)$ et $B(4;-1)$

Le vecteur $\\vec{AB}$ sera:

$$ \\vec{AB} = (x\_b - x\_a ; y\_b - y\_a) $$

$$ \\vec{AB} = (4-(-2) ; -1-3) $$

$$ \\vec{AB} = (6;-4) $$

## Faire des opérations avec les vecteurs

### Additiionner et soustraires deux vecteurs

Nous avons ici deux vecteurs :

$$ \\vec{AB} = (6;-4) $$

$$ \\vec{CD} = (5;2) $$

Donc pour faire $\\vec{AB} + \\vec{CD}$ on va additionner les composantes:

$$ \\vec{AB} + \\vec{CD} = (6+5;-4+2) $$

$$ \\vec{AB} + \\vec{CD} = (11;-2) $$

### Multiplier et diviser un vecteur par un réel

Pour faire $5 \* \\vec{AB}(6;5)$ il suffit de multiplier les composantes par le nombre.

$$ 5\\vec{AB} = (6 \* 5 ; 5 \* 5) $$

$$ 5\\vec{AB} = (30;25) $$

### Trouver le milieu d'un segment (ou d'un vecteur)

Voici la formule pour trouver le milieu d'un segment.

$$ M(\\frac{x\_A+b\_B}{2},\\frac{y\_A+y\_B}{2}) $$

### Savoir si deux vecteurs sont // (colinéaires)

Deux vecteurs ($u$ et $v$) sont colinéaires dans le cas où l'expression suivante est vraie:

$$ x\_v \* y\_u - x\_u \* y\_v = 0 $$

### Savoir si deux vecteurs sont perpendiculaires (orthogonalité)

DDeux vecyeurs ($u$ et $v$) sont orthogonaux dans le cas où l'expression suivante est vraie:

$$ x\_u \* x\_v + y\_u \* y\_v = 0 $$

### Connaître la longueur d'un vecteur

La longueur d'un vecteur se note $||u||$ et pour la connaître on fait:

$$ ||\\vec{u}|| = \\sqrt{x\_u^2 + y\_u^2} $$

Oui bien

$$ ||\\vec{AB}|| = \\sqrt{(x\_B - x\_A)^2 + (y\_B-y\_A)^2} $$

# Les suites

> Une **suite** est une liste ordonnée, finie ou infinie de nombres réels. Les différents nombres de cette liste sont appellé les *termes* de la suite.

## Suite algébrique

Dans une suite géométrique les nombres sont à chaquefois, le nombre précédent ajouté ou soustrait d'un autre nombre appellé *raison*.

La formule simplifie de la suite algébrique est donc:

$$ u\_n = u\_{n-1} + r $$

Dans cette équation plusieurs lettres sont utilisées:

<table id="bkmrk-lettre-utilis%C3%A9e-sign"><thead><tr><th>Lettre utilisée</th><th>Signification</th></tr></thead><tbody><tr><td>$u$</td><td>Terme de la suite</td></tr><tr><td>$n$</td><td>Indice de la suite</td></tr><tr><td>$u\_n$</td><td>Terme de la suite de rang $n$</td></tr><tr><td>$u\_{n-1}$</td><td>Terme de la suite qui précède $n$</td></tr><tr><td>$r$</td><td>Le coefficient, appellé *raison*, dans une suite **algébrique**</td></tr><tr><td>$q$</td><td>Le coefficient, appellé *raison*, dans une suite **géométrique**</td></tr><tr><td>$u\_1$</td><td>Le premier terme de la suite</td></tr></tbody></table>

Mais il existe aussi une autre formule appellée *formule explicite*, la méthode précédente étant appellé *formule réccurente*.

$$ u\_n = u\_1 + r(n-1) $$

A partir de maintenant on sait donc trouver un nombre de la suite en partant soit de la raison $r$ et du nombre précédent $u\_{n-1}$. Soit en utilisant le premier nombre de la suite $u\_1$ et la raison $r$.

### Trouver un bombre à l'aide des deux autres qui l'encadrent

Pour faire cela on utilise la formule

$$ u\_n = \\frac{u\_{n-1} + u\_{n+1}}{2} $$

### Calculer la somme de $n$ termes de la suite

$$ S = \\frac{n(u\_1+u\_n}{2} $$

## Suite géométrique

Dans une suite géométrique les nombres sont à chaquefois, le nombre précédent est multiplié ou divisé d'un autre nombre appellé *raison*.

Sa formule par *réccurence* est

$$ u\_n = u\_{n-1} \* q $$

Et sa formule *explicite* est

$$ u\_n = u\_1 \* q^{n-1} $$

### Trouver un bombre à l'aide des deux autres qui l'encadrent

$$ u\_n = \\sqrt{u\_{n-1} \* u\_{n+1}} $$

### Calculer la somme de $n$ termes de la suite

$$ S = u\_1 \* \\frac{1-q^n}{1-q} $$

# Trigonométrie

## Formules

La formule du cercle trigonométrique

$$ \\sin^2{\\alpha} + \\cos^2{\\alpha} = 1 $$

La formule de la tangeante

$$ \\tan{\\alpha} = \\frac{sin{\\alpha}}{\\cos{\\alpha}} $$

### La formule des sinus

$$ \\frac{a}{\\sin{\\alpha}} = \\frac{b}{\\sin{\\beta}} = \\frac{c}{\\sin{\\gamma}} $$

### La formule des cosinus

$$ a^2 = b^2 +c^2 - 2bc\\cos{\\alpha} $$

$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\\cos{\\beta} $$

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos{\\gamma} $$

### Somme des angles d'un triangle

$$ \\alpha = 180° - \\beta - \\gamma $$

### L'aire d'un triangle

$$ aire = \\frac{bc\\sin{\\alpha}}{2} = \\frac{ac\\sin{\\beta}}{2} = \\frac{ab\\sin{\\gamma}}{2} $$

### Convertir en angle / minutes / secondes

$$ 1° = 60' = 3600'' $$

$$ 1' = 1/60° = 60'' $$

$$ 1'' = 1/3600° = 1/60' $$

### Convertir des angles en radian

$$ 180° = \\pi $$

$$ 1° = \\frac{\\pi}{180} = 0.0175 $$

$$ \\frac{180°}{\\pi} = 57.3° = 1 $$

## Savoir quand utiliser les formules

<table id="bkmrk-si-on-conna%C3%AEt-on-uti"><thead><tr><th>Si on connaît</th><th>On utilise</th></tr></thead><tbody><tr><td>Deux angles et un côté</td><td>La somme des angles et la formule des sinus</td></tr><tr><td>Deux côtés et l'angle entre les deux</td><td>La formule des cosinus</td></tr><tr><td>Trois côtés</td><td>La formule des cosinus</td></tr></tbody></table>

## Comment les utiliser

Cette section n'est pas encore faite

## Les fonctions trigonométriques

Voici une table pour comprendre les lettres dans les formules

<table id="bkmrk-lettre-signification"><thead><tr><th>Lettre</th><th>Signification</th></tr></thead><tbody><tr><td>$A$</td><td>L'amplitude (grandeur mesurée)</td></tr><tr><td>$\\omega$</td><td>Vitesse angulaire, pulsation par seconde, exprimée en radian</td></tr><tr><td>$\\phi$</td><td>La phase d'origine</td></tr><tr><td>$T$</td><td>Durée d'un cycle. Equivaut à $\\frac{2\\pi}{\\omega}$</td></tr><tr><td>$f$</td><td>Fréquence, exprimée en Hertz, au nombre de périodes par seconde, elle vaut $\\frac{1}{T}$</td></tr></tbody></table>

Le tout est lié par la relation

$$ \\omega = 2 \\pi f = \\frac{2\\pi}{T} $$

# Probabilité

Propriétés

$$ 0 &lt; P(A) &lt; 1 $$

$$ P(A) = \\đrac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possible} $$

$$ P(1) + P(2) = 1 $$

$$ P(A) = 1 - P(A) $$

## Analyse combinatoire

<table id="bkmrk-math-formule-consign"><thead><tr><th>Math</th><th>Formule</th><th>Consigne</th></tr></thead><tbody><tr><td>$P\_10 = 10!$</td><td>$P\_n = n!$</td><td>Combien de manières de ranger 10 livres dans un étagère (permutation, objets différents)</td></tr><tr><td>$P\_{10}^{2} = \\frac{10!}{2!}$</td><td>$P\_{n}^{j;k;l} = \\frac{n!}{j! \* k! \* l!}$</td><td>Parmis 10 livres, j'ai 2 livres identiques (permutation avec objets identiques)</td></tr><tr><td>$C\_{20}^5 = \\frac{20!}{5! \* (20-5)!}$</td><td>$C\_n^p = \\frac{n!}{p! \* (n-p)!}$</td><td>Former une équipe de 5 personnes parmis 20 persones (combinaison)</td></tr><tr><td>$A\_{20}^3 = \\frac{20!}{(20-3)!}$</td><td>$A\_n^p = \\frac{n!}{(n-p)!}$</td><td>Choisir parmis 20 personnes, un président, un secretaire et un trésorier (arrangement sans répétition)</td></tr><tr><td>$B\_{10}^5 = 10^5$</td><td>$B\_n^p = n^p$</td><td>Former un code à 5 chiffres (arrangement avec répétition)</td></tr></tbody></table>

## La loi binomiale

C'est quand il n'y a que deux possibilités: échec ou réussite.

$$ P(X=k)=\\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k} $$

<table id="bkmrk-math%C3%A9matiques-fran%C3%A7a"><thead><tr><th>Mathématiques</th><th>Français</th></tr></thead><tbody><tr><td>$P(X=k)$</td><td>Probabilité de réussite</td></tr><tr><td>$k$</td><td>Nombre de succès</td></tr><tr><td>$n$</td><td>Nombre de répétitions</td></tr><tr><td>$p$</td><td>Probabilité (0,xxx)</td></tr></tbody></table>

$$ \\bar{x} $$

## Loi normale centrée réduite

> Loi normale de moyenne 1.84 ($µ$) et d'écart-type de 0.4 ($\\sigma$). Déterminer la probabilité qu'un individu soit entre 1.04 et 2.64

<table id="bkmrk-calcul-explication-%24"><thead><tr><th>Calcul</th><th>Explication</th></tr></thead><tbody><tr><td>$P(1.04 \\le X \\le 2.64)$</td><td>Enoncé</td></tr><tr><td>$P(\\frac{1.04 - 1.84}{0.4} \\le Z \\le \\frac{2.64 - 1.84}{0.4})$</td><td>Appliquer la formule $Z = \\frac{X-µ}{\\sigma}$ pour chaque nombre</td></tr><tr><td>$P(-2 \\le Z \\le 2)$</td><td>Calculer la formule précédente</td></tr><tr><td>$P(Z \\le 2) - (1 - P(Z \\le -2))$</td><td>Diviser en 2 grâce à la formule $P(A \\le Z \\le B) = P(Z \\le B) - (1 - P(Z \\le A))$</td></tr><tr><td>$0.9772 - (1 - 0.9772)$</td><td>Aller voir dans le tableau pour trouver la probabilité correspondante</td></tr><tr><td>$0.9544 = 95.44%$</td><td>Calculer et trouver la probabilité finale$</td></tr></tbody></table>

> Il y a donc 95.44% de chance que la personne soit entre les valeurs 1.04 et 2.64. Avec l'écart-type de 0.4 et la moyenne de 1.84.

# Statistiques

# Statistiques à deux variables

> On appelle **série statistique à deux variables** est une série statistiques dans laquelles on étudie simultanément deux caractères x et y observés sur une même population.

## L'ajustement affine

IMAGE ICI

<table id="bkmrk-m%C3%A9thode-exemple-form"><thead><tr><th>Méthode</th><th>Exemple</th><th>Formule</th></tr></thead><tbody><tr><td>Classer les données par ordre croissant</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Classer les données en deux groupes égaux</td><td>1er groupe les 4 premières données, le 2em groupe : les quatres dernières données</td><td></td></tr><tr><td>Calculer le point $G\_1$</td><td>$(\\bar{x\_1};\\bar{y\_1}) = (\\frac{1+2+3+4}{4} ; \\frac{1+3+5+4}{4}) = (2.5 ; 3.25)$</td><td>$(\\bar{x};\\bar{y}) = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n}x\_i}{n} ; \\frac{\\sum\_{i=1}^{n}y\_i}{n})$</td></tr><tr><td>Calculer le point $G\_2$</td><td>$(\\bar{x\_2};\\bar{y\_2}) = (\\frac{5+6+7+8}{4} ; \\frac{6+1+2+3}{4}) = (6.5 ; 3)$</td><td>$(\\bar{x};\\bar{y}) = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n}x\_i}{n} ; \\frac{\\sum\_{i=1}^{n}y\_i}{n})$</td></tr><tr><td>Calculer la pente de la droite</td><td>$m = \\frac{3-3.25}{6.5-2.5} = -0.0625$</td><td>$m = \\frac{y\_2-y\_1}{x\_2-x\_1}$</td></tr><tr><td>Calculer l'ordonnée à l'origine</td><td>$p = 1 - (-0.0625) \* 1 = 1.0625$</td><td>$p = y\_1 - m \* x\_1$</td></tr><tr><td>Droite finale</td><td>$y = -0.0625x + 1.0625$</td><td>$y = m \* x + p$</td></tr></tbody></table>

## Méthode des moindres carrés

IMAGE ICI

### Méthode courte

La méthode la plus courte pour calculer la droite des moindres carrés, c'est d'utiliser directement la calculatrice (CASIO fx-92B)

1. `MENU > 2 > 2`
2. Ensuite il faut intégrer toutes les valeurs $x$ et $y$ dans le tableau : NE SURTOUT PAS UTILISER LA TOUCHE AC
3. `OPTN > 4`
4. La calculatrice donne maintenant les valeurs $a$, $b$ et $r$ qu'il faut remplacer dans la formule suivante :

$$ Y = ax + b $$

> $r$ correspond au coefficient de régression

### Méthode longue

> VOIR DANS LE LIVRE A LA PAGE 106.

## Calculer et interpreter le coefficient de corrélation

Le coefficient de corrélation correspond au $r$ que la calculatrice donne. Il suffit ensuite d'utiliser le barème suivant pour l'interprêter, sans même avoir besoin du graphique.

<table id="bkmrk-qualit%C3%A9-de-la-corr%C3%A9l"><thead><tr><th>Qualité de la corrélation</th><th>Positive</th><th>Négative</th></tr></thead><tbody><tr><td>Parfaite</td><td>$0.98&lt;r&lt;1$</td><td>$-1&lt;r&lt;-0.98$</td></tr><tr><td>Forte</td><td>$0.80&lt;r&lt;0.98$</td><td>$-0.98&lt;r&lt;-0.80$</td></tr><tr><td>Moyenne</td><td>$0.60&lt;r&lt;0.80$</td><td>$-0.80&lt;r&lt;-0.60$</td></tr><tr><td>Faible</td><td>$0.35&lt;r&lt;0.60$</td><td>$-0.60&lt;r&lt;-0.35$</td></tr><tr><td>Nulle</td><td>$-0.35&lt;r&lt;0.35$</td><td>$-0.35&lt;r&lt;0.35$</td></tr></tbody></table>

Ce coefficient défini à quel point le lien entre la droite de régression et les points sont proches. Si il n'y a aucun lien entre la droite et les points, c'est une corrélation nulle.

## Différence entre corrélation et causalité

> Une **corrélation** est un rapport entre deux valeurs ($x$ et $y$)

> Une **causalité** c'est quand $x$ cause $y$ (ou l'inverse).

Il est très important de comprendre que ces deux mots ne sont pas synonymes, c'est un piège dans lequel de nombreux journalistes tombent. Voici un exemple de corrélation :

> *Les pays qui ont le plus de prix nobels sont les pays avec la plus grande consommation de chocolat*

Cette affirmation est factuelle, c'est en effet le cas, mais ce n'est pas pour autant que manger du chocolat va faire de vous un génie comme beaucoup de journeaux l'ont dit.