# Analyse de fonctions

## Trouver l'ordonnée à l'origine et les conditions d'existence

| Calcul                      | Explication                                 |
| --------------------------- | ------------------------------------------- |
| $f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x-1}$ | L'énoncé                                    |
| $x-1 \neq 0$                | Le dénominateur ne peut pas être égal à $0$ |
| $x -1+1\neq 0+1$            | Résoudre l'équation                         |
| $x\neq1$                    | Conditions d'existence finale.              |

*Donc l'ordonnée à l'origine est $1$ et la condition pour l'existence de la fonction est que $x$ ne peux pas valoir $0$*

## Trouver la parité d'une fonction

| Calcul                                | Explication                                                                                                                                     |
| ------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x-1}$           | L'énoncé                                                                                                                                        |
| $f(-3)=\frac{(-3)^2+2(-3)+1}{-3-1}$   | Remplacer $x$ par un nombre négatif qui respecte les conditions d'existence                                                                     |
| $f(-3)=-1$                            | Effectuer le calcul                                                                                                                             |
| $f(3)=\frac{3^2+2*3+1}{3-1}$          | Remplacer $x$ par le  même nombre que le précédent mais positif.                                                                                |
| $f(3)=8$                              | Effectuer le calcul                                                                                                                             |
| La fonction n'est ni paire ni impaire | Si $f(-x)=f(x)$ alors la fonction est paire<br/>Si $f(-x)=-f(x)$ alors la fonction est impaire<br/>Sinon, la fonction n'est ni paire ni impaire |

*La fonction n'est ni paire ni impaire*

## Trouver les racines

| Calcul               | Explication                                                                                        |
| -------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $f(x)=\frac{x+1}{x}$ | L'énoncé                                                                                           |
| $x+1=0$              | Prendre uniquement le numérateur de la fonction pour faire une équation sous forme: $numerateur=0$ |
| $x+1-1=-1$           | Résoudre l'équation                                                                                |
| $x=-1$               | La racine de la fonction est $-1$                                                                  |

*La seule racine de la fonction est en $x=-1$*

## Faire un tableau de signe

| Calcul                                                                                    | Explication                                                                |
| ----------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------- |
| *On sait que la racine de la fonction est $x=0$ et la condition d'existence est $x\neq0$* | L'énoncé                                                                   |
| `\|   \| -1 \|   \| 0 \|   \|`                                                            | Faire le haut du tableau avec les racines et les conditions d'existences   |
| `\| - \| 0  \| - \| E \| + \|`                                                            | Ajouter les valeurs qui correspondent. Ainsi que les signes avant et après |

|     | -1  |     | 0          |     |
|:---:|:---:|:---:|:----------:|:---:|
| -   | 0   | -   | $\nexists$ | +   |

## Calculer les asymptotes & limites
Pour calculer les asymptotes il est très important de les faires dans l'ordre. D'abord essayer de trouve une asymptote verticale, puis essayer de trouver une asymptote horizontale.
Si il y a une asymptote horizontale ça veux dire qu'il n'y a pas d'asymptote oblique donc pas besoin de faire le calcul.

> Attention au limites particulières : $\lim_{x\to0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ & $\lim_{x\to0} \frac{\tan{x}}{x} = 1$ & $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos{x}}{x} = 0$

### Asymptote verticale

| Calcul                                 | Explication                                                                        |
| -------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------- |
| $f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-1}$            | L'énoncé                                                                           |
| $x\neq1$                               | Calculer les conditions d'existence                                                |
| $\lim_{x\to1^-} \frac{1^2-3*1+4}{1-1}$ | Mettre la limite vers la valeur trouvé en conditions et remplacer dans la fonction |
| $\lim_{x\to1} \frac{2}{0^-}$           | Simplifier la fonction                                                             |
| $-\infty$                              | Transformer le $0^-$ en $-\infty$                                                  |

### Asympotes horizontales

| Calcul                                           | Explication                                                                                                                                   |
| ------------------------------------------------ | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $f(x)= \frac{2x+3}{x^2+4}$                       | L'énoncé                                                                                                                                      |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{2\infty+3}{\infty^2+4}$ | Remplacer (mentalement) $x$ par $\infty$                                                                                                      |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{2x}{x^2}$               | C'est le cas de $\frac{\infty}{\infty}$. Donc il faut prendre la plus grande puissance ainsi que son *coefficient* (nombre qui est multiplié) |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x}$                  | Simplifier la fraction                                                                                                                        |
| $AH=0$                                           | La forme $\frac{1}{x}$ est égale à $0$. La résponse est donc $0$                                                                              |

### Asymptotes oblique

| Calcul                                            | Explication                                                                                                                          |
| ------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
| $f(x)=\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2+1}$                 | L'énoncé                                                                                                                             |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{x^3-x^2+5x-1}{x(x^2+1)}$ | Appliquer la formule $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ pour trouver $m$ (la pente)                                                   |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x^3}$                | C'est le cas $\frac{\infty}{\infty}$. Donc il faut mettre en évidence en gardant uniquement le plus grand exposant (voire plus haut) |
| $m=1$                                             | Simplifier pour obtenir la pente                                                                                                     |

| Calcul                                                                  | Explication                                                                                        |
| ----------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2-1}-x$                         | Appliquer la forumle $\lim_{x\to\infty}f(x)-mx$ pour trouver $p$ (l'ordonnée à l'origine     |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2-1}-\frac{x(x^2-1)}{1(x^2-1)}$ | Mettre au même dénominateur en multipliant le dénominateur du premier terme avec tout le deuxième. |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{(x^3-x^2+5x-1)-(x(x^2-1))}{x^2-1}$              | Mettre sous la même barre de fraction                                                              |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x^2+5x-1-x^3-x}{x^2-1}$                     | Développer                                                                                         |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2+4x-1}{x^2-1}$                              | Simplifier                                                                                         |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2}{x^2}$                                     | Mettre en évidence en gardant seulement la plus grande puissance de $x$, voire plus haut           |
| $p=-1$                                                                  | Simplifier la fraction                                                                             |

| Calcul                | Explication                                                                     |
| --------------------- | ------------------------------------------------------------------------------- |
| $AO \equiv y=1x+(-1)$ | Appliquer la formule $AO \equiv y=mx+p$ à partir des informations vue çi dessus |
| $AO \equiv y=x-1$     | Simplifier, résultat final                                                      |


## Dérivés
### Première dérivée (Savoir si ça monte, dessend ou reste stable)

| Calcul | Explication | 
| --- | --- |
| $f'(x)=(\frac{x^2+2x+1}{x})'$ | L'énoncé |
| $f'(x)=\frac{(x^2+2x+1)'(x)-(x^2+2x+1)(x)'}{x^2}$ | Appliquer la formule $(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ |
| $f'(x)=\frac{(2x+2+0)(x)-(x^2+2x+1)(1)}{x^2}$ | Appliquer la formule $x^n=nx^{n-1}$ ou autres formules (voir plus bas). Faire les dérivés |
| $f'(x)=\frac{2x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2}$ | Développer et distribuer |
| $f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}$ | Simplifier |
| Faire un tableau de signe | Voir plus haut. | 

| $x$     |       | $-1$    |          | $0$        |          | $1$     |       |
| ------- | ----- | ------- | -------- | ---------- | -------- | ------- | ----- |
| $f'(x)$ | +     | 0       | -        | $\nexists$ | -        | 0       | +     |
| $f(x)$  | Monte | Maximum | Dessends | $\nexists$ | Dessends | Minimum | Monte |

### Deuxième dérivée (Savoir si c'est concave ou convexe)

| Calcul | Explication |
| --- | --- |
| $f''(x) = (\frac{x^2-1}{x^2})'$ | La dérivée précédente (dérivée première) |
| $f''(x) = \frac{(x^2-1)'(x^2)-(x^2-1)(x^2)'}{x^4}$ | Appliquer la formule $(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ |
| $f''(x) = \frac{(2x-0)(x^2)-(x^2-1)(2x)}{x^4}$ | Appliquer la formule $x^n=nx^{n-1}$ ou autres formules (voir plus bas). Faire les dérivés |
| $f''(x) = \frac{2x^3-(2x^3-2x)}{x^4}$ | Distribuer |
| $f''(x) = \frac{2}{x^3}$ | Simplifier |
| Faire un tableau de signe | Voir plus haut. | 

| $x$ |     | $0$ |     |
| --- | --- | --- | --- | 
| $f'(x)$ | - | $\nexists$ | + |
| $f(x)$ | Concave | $\nexists$ | Convexe |

### Définition d'une dérviée 
TODO

### Faire une tangente
| Calcul | Explication | 
| --- | --- |
| $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ | Faire la tangeante de cette fonction au point $1$ |
| $f'(x) = 3x^2 - 4x + 0$ | Dériver la fonction |
| $m=f'(1) = 3 * 1^2 - 4*1 = -1$ | Trouver la pente avec la formule $m=f'(A)$ |
| $p=-(-1) * 1+f(1) = 1 * 1+0 = 1$ | Trouver l'ordonnée à l'origine avec la formule $p=-mA + f(A)$ |
| $T_a \equiv  y - 1 = -1(x-1)$ | Equation de la tangente au point A : $T_a \equiv  y - f(a) = f'(a) * (x-a)$ |

### Faire une intégrale d'une fonction (primitives)
| Calcul | Explication | 
| --- | --- | 
| $f(x)=2x+1$ | Fonction à primitiver |
| $\int (2x+1) dx$ | Mettre la fonction dans une intégrale. |
| $\frac{2x^{1+1}}{1+1} + \frac{1^{0+1}}{0+1}$ | Appliquer la formule $\int x^n = \frac{n^{n+1}}{n+1}$ |
| $x^2 + x$ | Calculer et simplifier |

> Voir la feuille avec les cas plus spéciaux et les ploynomes.

### Trouver l'aire sous une courbe
| Calcul | Explication | 
| --- | --- |
| $f(x) = x^2-1$ | Trouver l'aire sous cette courbe entre $-1$ et $1$ |
| $\int x^2-1 dx$ | Mettre le tout sous une intégrale | 
| $\frac{x^3}{3}-x$ | Faire l'intégrale | 
| $\int_1^1 x^2-1dx$ | Mettre sous forme d'intégrale bornée |
| $\int f(1)dx - \int f(-1)dx$ | Appliquer la formule $\int_a^b f(xà dx = \int f(b)dx - \int f(a)dx$ |
| $(\frac{1^3}{3}-1)-(\frac{(-1)^3}{3}-(-1))$ | Détail de l'étape précédente |
| $\frac{4}{3}$ | Réponse finale. L'aire sous la courbe est de $|\frac{-4}{3}|$ soit $\frac{4}{3}$ |

### Volume d'un solide
> Insérer schéma ici

| Calcul | Explications |
| --- | --- |
| $f(x) = 1$ | Cylindre du de coté avec une hauteur de 2 ($\frac{2}{2} = 1$) |
| $V_1 = \pi \int_0^6 (1)^2 dx$ | Application de la formule du calcul de volume intégral $V = \pi \int_a^b f(x)^2 dx$ |
| $V_1 = \pi ( 6 - 0) = 6 \pi$ | Calcul de l'intégrale, voir plus haut pour plus de détails |
| $V_2 = \pi r^2 * h$ | Vérification à l'aide de la formule du volume du cylindre |
| $V_2 = \pi 1^2 * 6  = 6 \pi$ | Calcul de la formule précédente |
| $V_1 = V_2 = 6 \pi$ | Les deux volumes sont les même, donc les formules sont correctes |