Le modulo

Trouver l'inverse modulaire 
 Prenons l'exemple de $9\mod80$ 
 On peut écrire 9 et 80 dans le tableau suivant 
 
 
 
 R 
 9 (u) 
 80 (v) 
 Q 
 
 
 
 
 9 
 1 
 0 
 
 
 
 80 
 0 
 1 
 
 
 
 
 Ensuite on peut effectuer la division euclidienne des deux dernières lignes soit $9 \div 80$ et mettre le reste dans la première colonne et le quotient dans la dernière 
 
 
 
 R 
 9 (u) 
 80 (v) 
 Q 
 
 
 
 
 9 
 1 
 0 
 
 
 
 80 
 0 
 1 
 
 
 
 9 
 
 
 0 
 
 
 
 Maintenant on va multiplier chaque avant-dernière case moins chaque dernière case des deux dernières colonnes avec le quotient que l'on a trouvé 
 
 
 
 R 
 9 (u) 
 80 (v) 
 Q 
 
 
 
 
 9 
 1 
 0 
 
 
 
 80 
 0 
 1 
 
 
 
 9 
 $1-0*0=1$ 
 $0-1*0=0$ 
 0 
 
 
 
 Enfin on peut recommencer de nouveau depuis l'étape 2 jusqu'a arriver à un reste qui vaut 1. Si il n'y a pas de 1 et que l'on passe directement à 0, alors il n'y a pas d'inverse modulaire. 
 
 
 
 R 
 9 (u) 
 80 (v) 
 Q 
 
 
 
 
 9 
 1 
 0 
 
 
 
 80 
 0 
 1 
 
 
 
 9 
 $1-0*0=1$ 
 $0-1*0=0$ 
 0 
 
 
 8 
 -8 
 1 
 8 
 
 
 1 
 $1-(-8)*1=9$ 
 $0-1*1=-1$ 
 1 
 
 
 
 Maintenant on peut prendre le résultat de la colonne $u$ et : 
 
 si celui-ci est plus grand que $80$ on fait $80 - u$ 
 si celui-ci est plus petit que $0$ on fait $80 + u$ 
 si celui-ci est entre les deux on le garde tel quel 
 
 Donc ici 9 est plus grand que 0 et plus petit que 80 donc le résultat est 9 
 Faire le modulo d'un exposant négatif 
 Pour faire le $(690^{-6}) \mod 11$ on commence par faire l'inverse modulaire de $690$ ce qui nous donne $7$ 
 Ensuite on fait $7^6 \mod 11$ ce qui nous donne donc $4$ et c'est notre réponse finale.