Les ensembles
Un ensemble est une collection non-ambigue d'objet distincts. C'est à dire que l'on peut définir ce qui relie tous les objets, et que les objets ne peuvent apparaitre qu'une seule fois dans l'ensemble.
Voici quelques exemples d'ensembles :
- Des ensembles finis de nombres : $A = \{ 0, 1, 2, 5, 9, 11 \}$
- Des ensembles finis de noms : $B = \{ Alain Dupont, Béatrice Durant, Linel Hicq, Nadine Tudor \}$
- Des ensembles infinis : $C = \{1,2,3,4,5,...\}$
On défini un ensemble par la caractéristique commune à tous les éléments
$$ A = \{x | x \in \mathbb{N}\} $$
Cette notation fait appel à la notion de préciats que l'on a vu plus tôt, voir ici, car on a un prédicat sur la variable $x$
$$ A = \{ x | P(x)\} $$
Quand un ensemble ne contient aucun élément on dit que c'est un ensemble "vide"
$$ B = \{\varnothing\} $$
Cardinalité des ensembles
Pour connaitre le cardinal d'un ensemble, il suffit de compter ses éléments.
- Si c'est un ensemble vide ($\varnothing$), alors le cardinal est 0
- Si c'est un ensemble qui contient d'autres ensembles, on ne fait que compter les ensembles (sans leur contenu)
Ainsi pour l'ensemble suivant :
$$ A = \{\{A\}, \{A,C\}, B, \{B,C,D,E\}, D, \{D,E\},H\} $$
Cet ensemble a un cardinal de 7.
Les relations entre les ensembles
- L'égalité. C'est à dire que $a$ appartient à $b$ et $b$ appartient à $a$. → $\forall x \in E, (x \in A) \iff (x \in B)$
En plus de l'égalité on a aussi les opérations ensemblistes : Attention comme dans tous les ensembles il n'y a pas besoin de répèter les nombres.
| Nom | Expression mathématique | Description |
|---|---|---|
| L'union | $A \cup B = \{x|x \in A \lor x \in B\}$ | soit tous les éléments qui sont dans A ou qui sont dans B |
| L'intersection | $A \cap B = \{x|x \in A \land x \in B \}$ | soit tous les éléments qui sont dans A et qui sont dans B |
| La différence | $A \setminus B$ ou $A - B = \{x|x \in A \land x \notin B \}$ | tous les éléments qui sont dans A mais pas dans B |
| La différence symétrique | $A \oplus B = \{ x | (x \in A \land x \notin B) \cup (x \notin A \land x \in B) \}$ | Tous les éléments qui sont uniquement dans A + tous les éléments qui sont uniquement dans B |
Résoundre les diagrammes de Eulen-Venn
Pour arriver à trouver un les éléments d'un diagramme qui correspondent à une expression ensembliste, j'essaye de trouver des patterns dans l'expression.
Voici les patterns que j'ai identifiés :
- $A\cup B$ ou $A\setminus\overline{B}$ → Tous les éléments de A et tous les éléments de B (en faisant attention à ne pas répèter un même élément)
- $A\cap B$ → Les éléments communs à A et B
- $A\setminus B$ ou $A\cap\overline{B}$ → On prends les éléments de A et on retire ceux qui sont dans B
- $\overline{A}\setminus \overline{B}$ ou $\overline{A}\cap B$ → On prends les éléments de B et on retire ceux qui sont dans A
- $A\cup\overline{B}$ → Tous les éléments de B + tous les éléments qui ne sont pas dans A (en faisant attention à ne pas répèter plusieurs fois un même élément)
- $\overline{A}\setminus {B}$ ou $\overline{A} \cap \overline{B}$ → on prends tout sauf A et B