Les ensembles

Un ensemble est une collection non-ambigue d'objet distincts. C'est à dire que l'on peut définir ce qui relie tous les objets, et que les objets ne peuvent apparaitre qu'une seule fois dans l'ensemble. 
 Voici quelques exemples d'ensembles : 
 
 Des ensembles finis de nombres : $A = \{ 0, 1, 2, 5, 9, 11 \}$ 
 Des ensembles finis de noms : $B = \{ Alain Dupont, Béatrice Durant, Linel Hicq, Nadine Tudor \}$ 
 Des ensembles infinis : $C = \{1,2,3,4,5,...\}$ 
 
 On défini un ensemble par la caractéristique commune à tous les éléments 
 $$
A = \{x | x \in \mathbb{N}\}
$$ 
 Cette notation fait appel à la notion de préciats que l'on a vu plus tôt, voir ici , car on a un prédicat sur la variable $x$ 
 $$
A = \{ x | P(x)\}
$$ 
 Quand un ensemble ne contient aucun élément on dit que c'est un ensemble "vide" 
 $$
B = \{\varnothing\}
$$ 
 Cardinalité des ensembles 
 Pour connaitre le cardinal d'un ensemble, il suffit de compter ses éléments. 
 
 Si c'est un ensemble vide ($\varnothing$), alors le cardinal est 0 
 Si c'est un ensemble qui contient d'autres ensembles, on ne fait que compter les ensembles (sans leur contenu) 
 
 Ainsi pour l'ensemble suivant : 
 $$
A = \{\{A\}, \{A,C\}, B, \{B,C,D,E\}, D, \{D,E\},H\}
$$ 
 Cet ensemble a un cardinal de 7. 
 Les relations entre les ensembles 
 
 L'égalité. C'est à dire que $a$ appartient à $b$ et $b$ appartient à $a$. → $\forall x \in E, (x \in A) \iff (x \in B)$ 
 
 
 En plus de l'égalité on a aussi les opérations ensemblistes :
 Attention comme dans tous les ensembles il n'y a pas besoin de répèter les nombres. 
 
 
 
 Nom 
 Expression mathématique 
 Description 
 
 
 
 
 L'union 
 $A \cup B = \{x|x \in A \lor x \in B\}$ 
 soit tous les éléments qui sont dans A ou qui sont dans B 
 
 
 L'intersection 
 $A \cap B = \{x|x \in A \land x \in B \}$ 
 soit tous les éléments qui sont dans A et qui sont dans B 
 
 
 La différence 
 $A \setminus B$ ou $A - B = \{x|x \in A \land x \notin B \}$ 
 tous les éléments qui sont dans A mais pas dans B 
 
 
 La différence symétrique 
 $A \oplus B = \{ x | (x \in A \land x \notin B) \cup (x \notin A \land x \in B) \}$ 
 Tous les éléments qui sont uniquement dans A + tous les éléments qui sont uniquement dans B 
 
 
 
 Résoundre les diagrammes de Eulen-Venn 
 Pour arriver à trouver un les éléments d'un diagramme qui correspondent à une expression ensembliste, j'essaye de trouver des patterns dans l'expression. 
 Voici les patterns que j'ai identifiés : 
 
 $A\cup B$ ou $A\setminus\overline{B}$ → Tous les éléments de A et tous les éléments de B (en faisant attention à ne pas répèter un même élément) 
 $A\cap B$ → Les éléments communs à A et B 
 $A\setminus B$ ou $A\cap\overline{B}$ → On prends les éléments de A et on retire ceux qui sont dans B 
 $\overline{A}\setminus \overline{B}$ ou $\overline{A}\cap B$ → On prends les éléments de B et on retire ceux qui sont dans A 
 $A\cup\overline{B}$ → Tous les éléments de B + tous les éléments qui ne sont pas dans A (en faisant attention à ne pas répèter plusieurs fois un même élément) 
 $\overline{A}\setminus {B}$ ou $\overline{A} \cap \overline{B}$ → on prends tout sauf A et B