Analyse de fonctions
Trouver l'ordonnée à l'origine et les conditions d'existence
| Calcul |
Explication |
| $f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x-1}$ |
L'énoncé |
| $x-1 \neq 0$ |
Le dénominateur ne peut pas être égal à $0$ |
| $x -1+1\neq 0+1$ |
Résoudre l'équation |
| $x\neq1$ |
Conditions d'existence finale. |
Donc l'ordonnée à l'origine est $1$ et la condition pour l'existence de la fonction est que $x$ ne peux pas valoir $0$
Trouver la parité d'une fonction
| Calcul |
Explication |
| $f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x-1}$ |
L'énoncé |
| $f(-3)=\frac{(-3)^2+2(-3)+1}{-3-1}$ |
Remplacer $x$ par un nombre négatif qui respecte les conditions d'existence |
| $f(-3)=-1$ |
Effectuer le calcul |
| $f(3)=\frac{3^2+2*3+1}{3-1}$ |
Remplacer $x$ par le même nombre que le précédent mais positif. |
| $f(3)=8$ |
Effectuer le calcul |
| La fonction n'est ni paire ni impaire |
Si $f(-x)=f(x)$ alors la fonction est paire
Si $f(-x)=-f(x)$ alors la fonction est impaire
Sinon, la fonction n'est ni paire ni impaire |
La fonction n'est ni paire ni impaire
Trouver les racines
| Calcul |
Explication |
| $f(x)=\frac{x+1}{x}$ |
L'énoncé |
| $x+1=0$ |
Prendre uniquement le numérateur de la fonction pour faire une équation sous forme: $numerateur=0$ |
| $x+1-1=-1$ |
Résoudre l'équation |
| $x=-1$ |
La racine de la fonction est $-1$ |
La seule racine de la fonction est en $x=-1$
Faire un tableau de signe
| Calcul |
Explication |
| On sait que la racine de la fonction est $x=0$ et la condition d'existence est $x\neq0$ |
L'énoncé |
| | -1 | | 0 | | |
Faire le haut du tableau avec les racines et les conditions d'existences |
| - | 0 | - | E | + | |
Ajouter les valeurs qui correspondent. Ainsi que les signes avant et après |
Calculer les asymptotes & limites
Pour calculer les asymptotes il est très important de les faires dans l'ordre. D'abord essayer de trouve une asymptote verticale, puis essayer de trouver une asymptote horizontale.
Si il y a une asymptote horizontale ça veux dire qu'il n'y a pas d'asymptote oblique donc pas besoin de faire le calcul.
Attention au limites particulières : $\lim_{x\to0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ & $\lim_{x\to0} \frac{\tan{x}}{x} = 1$ & $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos{x}}{x} = 0$
Asymptote verticale
| Calcul |
Explication |
| $f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-1}$ |
L'énoncé |
| $x\neq1$ |
Calculer les conditions d'existence |
| $\lim_{x\to1^-} \frac{1^2-3*1+4}{1-1}$ |
Mettre la limite vers la valeur trouvé en conditions et remplacer dans la fonction |
| $\lim_{x\to1} \frac{2}{0^-}$ |
Simplifier la fonction |
| $-\infty$ |
Transformer le $0^-$ en $-\infty$ |
Asympotes horizontales
| Calcul |
Explication |
| $f(x)= \frac{2x+3}{x^2+4}$ |
L'énoncé |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{2\infty+3}{\infty^2+4}$ |
Remplacer (mentalement) $x$ par $\infty$ |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{2x}{x^2}$ |
C'est le cas de $\frac{\infty}{\infty}$. Donc il faut prendre la plus grande puissance ainsi que son coefficient (nombre qui est multiplié) |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x}$ |
Simplifier la fraction |
| $AH=0$ |
La forme $\frac{1}{x}$ est égale à $0$. La résponse est donc $0$ |
Asymptotes oblique
| Calcul |
Explication |
| $f(x)=\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2+1}$ |
L'énoncé |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{x^3-x^2+5x-1}{x(x^2+1)}$ |
Appliquer la formule $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ pour trouver $m$ (la pente) |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x^3}$ |
C'est le cas $\frac{\infty}{\infty}$. Donc il faut mettre en évidence en gardant uniquement le plus grand exposant (voire plus haut) |
| $m=1$ |
Simplifier pour obtenir la pente |
| Calcul |
Explication |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2-1}-x$ |
Appliquer la forumle $\lim_{x\to\infty}f(x)-mx$ pour trouver $p$ (l'ordonnée à l'origine |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x^2+5x-1}{x^2-1}-\frac{x(x^2-1)}{1(x^2-1)}$ |
Mettre au même dénominateur en multipliant le dénominateur du premier terme avec tout le deuxième. |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{(x^3-x^2+5x-1)-(x(x^2-1))}{x^2-1}$ |
Mettre sous la même barre de fraction |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x^2+5x-1-x^3-x}{x^2-1}$ |
Développer |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2+4x-1}{x^2-1}$ |
Simplifier |
| $\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2}{x^2}$ |
Mettre en évidence en gardant seulement la plus grande puissance de $x$, voire plus haut |
| $p=-1$ |
Simplifier la fraction |
| Calcul |
Explication |
| $AO \equiv y=1x+(-1)$ |
Appliquer la formule $AO \equiv y=mx+p$ à partir des informations vue çi dessus |
| $AO \equiv y=x-1$ |
Simplifier, résultat final |
Dérivés
Première dérivée (Savoir si ça monte, dessend ou reste stable)
| Calcul |
Explication |
| $f'(x)=(\frac{x^2+2x+1}{x})'$ |
L'énoncé |
| $f'(x)=\frac{(x^2+2x+1)'(x)-(x^2+2x+1)(x)'}{x^2}$ |
Appliquer la formule $(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ |
| $f'(x)=\frac{(2x+2+0)(x)-(x^2+2x+1)(1)}{x^2}$ |
Appliquer la formule $x^n=nx^{n-1}$ ou autres formules (voir plus bas). Faire les dérivés |
| $f'(x)=\frac{2x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2}$ |
Développer et distribuer |
| $f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}$ |
Simplifier |
| Faire un tableau de signe |
Voir plus haut. |
| $x$ |
|
$-1$ |
|
$0$ |
|
$1$ |
|
| $f'(x)$ |
+ |
0 |
- |
$\nexists$ |
- |
0 |
+ |
| $f(x)$ |
Monte |
Maximum |
Dessends |
$\nexists$ |
Dessends |
Minimum |
Monte |
Deuxième dérivée (Savoir si c'est concave ou convexe)
| Calcul |
Explication |
| $f''(x) = (\frac{x^2-1}{x^2})'$ |
La dérivée précédente (dérivée première) |
| $f''(x) = \frac{(x^2-1)'(x^2)-(x^2-1)(x^2)'}{x^4}$ |
Appliquer la formule $(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ |
| $f''(x) = \frac{(2x-0)(x^2)-(x^2-1)(2x)}{x^4}$ |
Appliquer la formule $x^n=nx^{n-1}$ ou autres formules (voir plus bas). Faire les dérivés |
| $f''(x) = \frac{2x^3-(2x^3-2x)}{x^4}$ |
Distribuer |
| $f''(x) = \frac{2}{x^3}$ |
Simplifier |
| Faire un tableau de signe |
Voir plus haut. |
| $x$ |
|
$0$ |
|
| $f'(x)$ |
- |
$\nexists$ |
+ |
| $f(x)$ |
Concave |
$\nexists$ |
Convexe |
Définition d'une dérviée
TODO
Faire une tangente
| Calcul |
Explication |
| $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ |
Faire la tangeante de cette fonction au point $1$ |
| $f'(x) = 3x^2 - 4x + 0$ |
Dériver la fonction |
| $m=f'(1) = 3 * 1^2 - 4*1 = -1$ |
Trouver la pente avec la formule $m=f'(A)$ |
| $p=-(-1) * 1+f(1) = 1 * 1+0 = 1$ |
Trouver l'ordonnée à l'origine avec la formule $p=-mA + f(A)$ |
| $T_a \equiv y - 1 = -1(x-1)$ |
Equation de la tangente au point A : $T_a \equiv y - f(a) = f'(a) * (x-a)$ |
Faire une intégrale d'une fonction (primitives)
| Calcul |
Explication |
| $f(x)=2x+1$ |
Fonction à primitiver |
| $\int (2x+1) dx$ |
Mettre la fonction dans une intégrale. |
| $\frac{2x^{1+1}}{1+1} + \frac{1^{0+1}}{0+1}$ |
Appliquer la formule $\int x^n = \frac{n^{n+1}}{n+1}$ |
| $x^2 + x$ |
Calculer et simplifier |
Voir la feuille avec les cas plus spéciaux et les ploynomes.
Trouver l'aire sous une courbe
| Calcul |
Explication |
| $f(x) = x^2-1$ |
Trouver l'aire sous cette courbe entre $-1$ et $1$ |
| $\int x^2-1 dx$ |
Mettre le tout sous une intégrale |
| $\frac{x^3}{3}-x$ |
Faire l'intégrale |
| $\int_1^1 x^2-1dx$ |
Mettre sous forme d'intégrale bornée |
| $\int f(1)dx - \int f(-1)dx$ |
Appliquer la formule $\int_a^b f(xà dx = \int f(b)dx - \int f(a)dx$ |
| $(\frac{1^3}{3}-1)-(\frac{(-1)^3}{3}-(-1))$ |
Détail de l'étape précédente |
| $\frac{4}{3}$ |
Réponse finale. L'aire sous la courbe est de $ |
Volume d'un solide
Insérer schéma ici
| Calcul |
Explications |
| $f(x) = 1$ |
Cylindre du de coté avec une hauteur de 2 ($\frac{2}{2} = 1$) |
| $V_1 = \pi \int_0^6 (1)^2 dx$ |
Application de la formule du calcul de volume intégral $V = \pi \int_a^b f(x)^2 dx$ |
| $V_1 = \pi ( 6 - 0) = 6 \pi$ |
Calcul de l'intégrale, voir plus haut pour plus de détails |
| $V_2 = \pi r^2 * h$ |
Vérification à l'aide de la formule du volume du cylindre |
| $V_2 = \pi 1^2 * 6 = 6 \pi$ |
Calcul de la formule précédente |
| $V_1 = V_2 = 6 \pi$ |
Les deux volumes sont les même, donc les formules sont correctes |
