Géométrie vectorielle

Définition

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction (haut, bas), un sens (gauche, droite) et une longueur (aussi appellé norme).

Comparer des vecteurs

Des vecteurs égaux sont des vecteurs qui ont la même direction, le même sens et la même longueur.

$$ \vec{u_1} = \vec{u_2} $$

Des vecteurs sont dit opposés quand ils ont la même direction, la même longueur mais un sens contraire.

$$ \vec{u_1} = -\vec{u_2} $$

Représenter un vecteur

Si on a dans un graphique un vecteur avec deux points, $A(-2;3)$ et $B(4;-1)$

Le vecteur $\vec{AB}$ sera:

$$ \vec{AB} = (x_b - x_a ; y_b - y_a) $$

$$ \vec{AB} = (4-(-2) ; -1-3) $$

$$ \vec{AB} = (6;-4) $$

Faire des opérations avec les vecteurs

Additiionner et soustraires deux vecteurs

Nous avons ici deux vecteurs :

$$ \vec{AB} = (6;-4) $$

$$ \vec{CD} = (5;2) $$

Donc pour faire $\vec{AB} + \vec{CD}$ on va additionner les composantes:

$$ \vec{AB} + \vec{CD} = (6+5;-4+2) $$

$$ \vec{AB} + \vec{CD} = (11;-2) $$

Multiplier et diviser un vecteur par un réel

Pour faire $5 * \vec{AB}(6;5)$ il suffit de multiplier les composantes par le nombre.

$$ 5\vec{AB} = (6 * 5 ; 5 * 5) $$

$$ 5\vec{AB} = (30;25) $$

Trouver le milieu d'un segment (ou d'un vecteur)

Voici la formule pour trouver le milieu d'un segment.

$$ M(\frac{x_A+b_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}) $$

Savoir si deux vecteurs sont // (colinéaires)

Deux vecteurs ($u$ et $v$) sont colinéaires dans le cas où l'expression suivante est vraie:

$$ x_v * y_u - x_u * y_v = 0 $$

Savoir si deux vecteurs sont perpendiculaires (orthogonalité)

DDeux vecyeurs ($u$ et $v$) sont orthogonaux dans le cas où l'expression suivante est vraie:

$$ x_u * x_v + y_u * y_v = 0 $$

Connaître la longueur d'un vecteur

La longueur d'un vecteur se note $||u||$ et pour la connaître on fait:

$$ ||\vec{u}|| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2} $$

Oui bien

$$ ||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} $$