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Les ensembles

Un ensemble est une collection non-ambigue d'objet distincts. C'est à dire que l'on peut définir ce qui relie tous les objets, et que les objets ne peuvent apparaitre qu'une seule fois dans l'ensemble.

Voici quelques exemples d'ensembles :

  • Des ensembles finis de nombres : A={0,1,2,5,9,11}
  • Des ensembles finis de noms : B={AlainDupont,BéatriceDurant,LinelHicq,NadineTudor}
  • Des ensembles infinis : C={1,2,3,4,5,...}

On défini un ensemble par la caractéristique commune à tous les éléments

A={x|xN}

Cette notation fait appel à la notion de préciats que l'on a vu plus tôt, voir ici, car on a un prédicat sur la variable x

A={x|P(x)}

Quand un ensemble ne contient aucun élément on dit que c'est un ensemble "vide"

B={}

Cardinalité des ensembles

Pour connaitre le cardinal d'un ensemble, il suffit de compter ses éléments.

  • Si c'est un ensemble vide (), alors le cardinal est 0
  • Si c'est un ensemble qui contient d'autres ensembles, on ne fait que compter les ensembles (sans leur contenu)

Ainsi pour l'ensemble suivant :

A={{A},{A,C},B,{B,C,D,E},D,{D,E},H}

Cet ensemble a un cardinal de 7.

Les relations entre les ensembles

  • L'égalité. C'est à dire que a appartient à b et b appartient à a. → xE,(xA)(xB)

En plus de l'égalité on a aussi les opérations ensemblistes : Attention comme dans tous les ensembles il n'y a pas besoin de répèter les nombres.

Nom Expression mathématique Description
L'union AB={x|xAxB} soit tous les éléments qui sont dans A ou qui sont dans B
L'intersection AB={x|xAxB} soit tous les éléments qui sont dans A et qui sont dans B
La différence AB ou AB={x|xAxB} tous les éléments qui sont dans A mais pas dans B
La différence symétrique AB={x|(xAxB)(xAxB)} Tous les éléments qui sont uniquement dans A + tous les éléments qui sont uniquement dans B

Résoundre les diagrammes de Eulen-Venn

Pour arriver à trouver un les éléments d'un diagramme qui correspondent à une expression ensembliste, j'essaye de trouver des patterns dans l'expression.

Voici les patterns que j'ai identifiés :

  • AB ou AB → Tous les éléments de A et tous les éléments de B (en faisant attention à ne pas répèter un même élément)
  • AB → Les éléments communs à A et B
  • AB ou AB → On prends les éléments de A et on retire ceux qui sont dans B
  • AB ou AB → On prends les éléments de B et on retire ceux qui sont dans A
  • AB → Tous les éléments de B + tous les éléments qui ne sont pas dans A (en faisant attention à ne pas répèter plusieurs fois un même élément)
  • AB ou AB → on prends tout sauf A et B